Revista Recursos Hdricos
Volume 32, Nmero 2, Novembro 2011

DOI: 10.5894/rh32n2-6
O texto deste artigo foi submetido para reviso e possvel publicao em Novembro de 2011, tendo sido aceite pela Comisso de Editores Cientficos Associados em Novembro de 2011. Este artigo parte integrante da Revista Recursos Hdricos, Vol. 32, N 2, 63-76, Novembro de 2011.

Sobre a estimao de intervalos de confiana para os quantis de variveis aleatrias hidrolgicas

On constructing confidence intervals for the quantiles of hydrological random variables

Artur Tiago Silva¹, Mauro Naghettini², Maria Manuela Portela³

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1 - Mestre em Engenharia Civil /// Instituto Superior Tcnico /// artur.tiago.silva@ist.utl.pt
2 - Professor Associado /// Universidade Federal de Minas Gerais /// mauronag@superig.com.br
3 - Professora Auxiliar /// Instituto Superior Tcnico /// mps@civil.ist.utl.pt

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RESUMO: O trabalho que se apresenta analisa alguns aspectos tericos e prticos sobre a construo de intervalos de confiana de quantis de variveis aleatrias hidrolgicas. Tais intervalos assumem um papel preponderante no dimensionamento e operao de sistemas de recursos hdricos envolvendo variveis aleatrias, uma vez que sintetizam as incertezas associadas estimao de parmetros e de quantis a partir de amostras finitas. A construo de intervalos de confiana de quantis pode ser feita por trs abordagens: (i) pela aproximao gaussiana dos quantis em torno da estimativa da varivel para uma dada probabilidade de no-excedncia – um mtodo de implementao muito complexa quando as distribuies tm trs ou mais parmetros; (ii) pela tcnica de simulao de Monte Carlo, que envolve a gerao de um elevado de nmero de amostras sintticas de dimenso igual da amostra original; (iii) pela tcnica de re-amostragem bootstrap, que envolve a obteno de um elevado nmero de amostras por re-amostragem com reposio dos dados originais e com dimenso igual da amostra original. As trs abordagens foram aplicadas construo de intervalos de confiana a 95% de quantis das distribuies generalizada de extremos (GEV, com trs parmetros) e de Gumbel (com dois parmetros), com parmetros estimados pelo mtodo dos momentos convencionais, utilizando, para o efeito, dados de precipitaes dirias mximas anuais em trs postos udomtricos de Portugal Continental. Os resultados dessa aplicao demonstram que, independentemente da abordagem utilizada, para valores elevados da probabilidade de no-excedncia, os intervalos de confiana dos quantis da lei GEV so notoriamente mais amplos dos que os da lei de Gumbel, em virtude do acrscimo de incerteza introduzido pelo terceiro parmetro daquela primeira lei, e que os intervalos de confiana construdos pela tcnica de bootstrap tm menor amplitude relativamente aos construdos, tanto por aproximao gaussiana, como pela tcnica de Monte Carlo, sendo que essa amplitude reduzida muito mais notria no caso da lei GEV do que no da de Gumbel. Adicionalmente concebeu-se e implementou-se um procedimento com o objectivo de avaliar quantitativamente o desempenho relativo das tcnicas de Monte Carlo e do bootstrap. Dos resultados da anterior anlise resulta a recomendao da aplicao da tcnica de Monte Carlo para a construo de intervalos de confiana de quantis da leis GEV e de Gumbel em detrimento da tcnica de bootstrap, embora no caso da GEV se tenha verificado uma aparente subestimao sistemtica da incerteza resultante da estimao de parmetros a partir de amostras finitas.

Palavras-chave: anlise de frequncia, variveis hidrolgicas, intervalos de confiana, Monte Carlo, bootstrap.

ABSTRACT: The research presented in this paper analyses some theoretical and practical aspects of constructing confidence intervals for the quantiles of hydrological random variables. Such intervals assume an important role in the design and operation of water resources systems, as they summarize the uncertainties associated with estimating distribution parameters and quantiles from finite data samples of hydrologic random variables. The construction of confidence intervals for quantiles can be done following three approaches: (i) the Gaussian approximation of quantiles around the estimate of the variable for a given non-exceedance probability - a method of cumbersome implementation when using distributions described by three or more parameters; (ii) the Monte Carlo simulation technique, which involves generating a large number of synthetic samples with a length equal to that of the original sample; (iii) the bootstrap resampling technique, which involves obtaining a large number of samples by sampling with replacement from the original data. The three approaches were applied to the construction of confidence intervals for the quantiles of the generalized extreme value (three-parameter GEV) and the (two-parameter) Gumbel distributions, with parameters estimated by the method of conventional moments, using annual maximum daily precipitation data from three rainfall gauging stations in mainland Portugal. The results of that application show that for high values of the non-exceedance probability, the confidence intervals for the quantiles of the GEV distribution are wider than the ones for the Gumbel distribution, due to the increment in uncertainty introduced by the third parameter of the GEV, and the confidence intervals resulting from the bootstrap technique are narrower as compared to the ones constructed either through the Gaussian approximation or the Monte Carlo technique. This relatively reduced amplitude was more evident for the GEV rather than for the Gumbel distribution. Additionaly, a procedure was devised and implemented to make a quantitative assessment of the relative performances of the Monte Carlo and the bootstrap techniques. The results of the previous analysis lead to the recommendation of the Monte Carlo technique for constructing confidence intervals for the quantiles of the GEV and Gumbel distributions rather than the bootstrap, although in the case of the GEV there was an apparent systematic underestimation of uncertainty due to parameter estimation from finite samples.

Keywords: frequency analysis, hydrological variables, confidence intervals, Monte Carlo, bootstrap.

 

CRAMR, H. (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University Press.

DIGGLE, P. (1985). A kernel method for smoothing point process data. Journal of the Royal Statistical Society. 34(2), 138-147.

EFRON, B. (1979). Bootstrap methods: another look at the jack-knife. Annals of Statistics, 7, 1-26, 1979.

HALL, M. J., van den BOOGARD H. F. P., FERNANDO R. C. e MYNET, A. E. (2004). The construction of confidence intervals for frequency analysis using resampling techniques. Hydrology and Earth System Sciences, 8(2), 235-246.

HOSKING J. R. M. (1986). The theory of probability weighted moments. Research Report RC 12210. Yorktown Heights (NY): IBM Research.

KACZMAREK, Z. (1957). Efficiency of the estimation of floods with a given return period. IAHS Publication 45, Vol 3, 144-159.

KIDSON R. e RICHARDS K. S. (2005). Flood frequency analysis: assumptions and alternatives. Progress in Physical Geography, 29(3), 392-410.

KITE, G. W. (1977). Frequency and Risk Analysis in Hydrology. Fort Collins (CO): Water Resources Publications, 1977.

MEYLAN, P., FAVRE A. C. e MUSY, A. (2008). Hydrologie Frquentielle – Une Science Prdictive. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne (Suia).

NAGHETTINI, M. e PINTO, E. J. A. (2007). Hidrologia Estatstica. Ed. CPRM, Belo Horizonte (Brasil).

RAO, A. R. e HAMED, K. H. (2000). Flood Frequency Analysis. Boca Raton (FL): CRC Press.

RAO, C. R. (1973). Linear Statistical Inference and its Applications. New York: John Wiley & Sons.

SILVERMAN, B. (1988).Density estimation for statistics and data analysis, vol. 26, Chapman & Hall/CRC.

STEDINGER, J. R., VOGEL, R. M. e FOUFOULA-GEORGIOU, E. (1993). Frequency Analysis of Extreme Events, captulo 18 in Handbook of Hydrology, MAIDMENT, D. R. (ed.), New York: McGraw-Hill.

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